207.课程表

题目:207.课程表

你这个学期必须选修 numCourses 门课程，记为 0 到 numCourses - 1 。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。 先修课程按数组 prerequisites 给出，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示如果要学习课程 ai 则 必须 先学习课程 bi 。

• 例如，先修课程对 [0, 1] 表示：想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 。

请你判断是否可能完成所有课程的学习？如果可以，返回 true ；否则，返回 false

• 示例 1：

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]
输出：true
解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0 。这是可能的。

• 示例 2：

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0],[0,1]]
输出：false
解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成​课程 0 ；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1 。这是不可能的。

• 提示：

1 <= numCourses <= 2000
0 <= prerequisites.length <= 5000
prerequisites[i].length == 2
0 <= ai, bi < numCourses
prerequisites[i] 中的所有课程对 互不相同

思路

这个问题可以抽象为一个有向图问题，课程是图中的节点，先修关系是图中的边。我们需要判断这个图中是否存在环。如果存在环，则说明有些课程之间存在循环依赖，无法完成所有课程。如果不存在环，则可以完成所有课程。可以通过 DFS检测环 来解决这个问题。

1. 构建图：将每门课程作为节点，每个先修关系作为有向边。prerequisites[i] = [ai, bi] 表示必须先学 bi 之后才能学 ai，即 bi -> ai。
2. DFS检测环： 使用 DFS 遍历每个节点，构建递归调用栈。如果在 DFS 过程中遇到已经在当前递归路径上的节点，则说明存在环，返回 true，否则访问结束以后返回 false。
3. 返回结果：如果遍历完所有节点，没有检测到环，则返回 true，否则返回 false。

• 时间复杂度:O(m+n)，其中 m 是课程数量，n 是先修课程的依赖关系数量。
• 时间复杂度:O(m+n)，其中 m 是课程数量，n 是先修课程的依赖关系数量。

代码

public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
    List<List<Integer>> graph = buildGraph(numCourses, prerequisites);
    // 状态数组，0 表示未访问，1 表示当前路径访问中，-1 表示已经访问完毕
    int[] visited = new int[numCourses];
    // 遍历图，检测是否存在环
    for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
        if (dfs(i, visited, graph)) {
            // 存在环，不能完成所有课程的学习
            return false;
        }
    }
    // 不存在环，可以完成所有课程的学习
    return true;
}

// 深度优先搜索，判断是否存在环，true 表示存在环
private boolean dfs(int i, int[] visited, List<List<Integer>> graph) {
    // 发现环
    if (visited[i] == 1) {
        return true;
    }
    // 该节点已经安全访问过
    if (visited[i] == -1) {
        return false;
    }
    // 标记当前节点为访问中
    visited[i] = 1;
    // 获取当前节点的下一个节点列表
    List<Integer> nextCourses = graph.get(i);
    for (int nextCourse : nextCourses) {
        if (dfs(nextCourse, visited, graph)) {
            return true;
        }
    }
    // 访问结束，标记为已访问
    visited[i] = -1;
    return false;
}

// 将等式转换成图的邻接表
private List<List<Integer>> buildGraph(int numCourses, int[][] prerequisites) {
    List<List<Integer>> graph = new ArrayList<>();
    for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
        graph.add(new ArrayList<>());
    }
    for (int[] prerequisite : prerequisites) {
        int start = prerequisite[1];
        int end = prerequisite[0];
        graph.get(start).add(end);
    }
    return graph;
}